La formule des probabilités totales permet d’évaluer la probabilité d’un événement B en connaissant les probabilités conditionnelles de cet événement selon différents scénarios. Pour utiliser cette méthode, ces scénarios doivent constituer un système complet d’événements, également appelé partition de l’univers Ω.
Une partition est un ensemble d’événements A1, A2, …, An répondant à deux critères :
- Ils sont deux à deux incompatibles : Ai ∩ Aj = ∅ pour tout i ≠ j.
- Leur union forme l’univers total : A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = Ω.
Lorsque ces conditions sont réunies, l’événement B se décompose en autant de sous-parties qu’il y a d’événements dans la partition. Cette approche permet d’isoler chaque branche de probabilité, garantissant que chaque chemin menant à B est comptabilisé sans chevauchement ni oubli.
Énoncé et formule mathématique
La formule des probabilités totales s’exprime selon deux écritures équivalentes, choisies en fonction des données disponibles dans votre énoncé.
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Formule par intersection
La probabilité de l’événement B est la somme des probabilités des intersections de B avec chaque élément de la partition :
P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + … + P(An ∩ B)
Formule par probabilité conditionnelle
Cette version, plus fréquente dans les exercices, utilise les probabilités conditionnelles PAi(B) :
P(B) = P(A1) × PA1(B) + P(A2) × PA2(B) + … + P(An) × PAn(B)
Cette écriture est particulièrement efficace lors de l’utilisation d’un arbre pondéré, car elle correspond au produit des probabilités sur chaque branche.
Démonstration de la formule
La démonstration repose sur la définition de la partition. Puisque les événements Ai forment une partition de Ω, nous pouvons écrire :
B = B ∩ Ω = B ∩ (A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)
Par distributivité de l’intersection sur l’union, nous obtenons :
B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B ∩ An)
Comme les événements Ai sont deux à deux incompatibles, les intersections (B ∩ Ai) le sont également. Par additivité des probabilités, la probabilité de l’union est égale à la somme des probabilités :
P(B) = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + … + P(B ∩ An)
En utilisant la définition de la probabilité conditionnelle P(Ai ∩ B) = P(Ai) × PAi(B), nous retrouvons la formule finale.
Représenter la formule avec un arbre pondéré
L’arbre de probabilité est l’outil visuel privilégié pour appliquer ce théorème. Chaque nœud de premier niveau représente la partition (A1, A2, …, An). De ces nœuds partent les branches menant à l’événement B ou à son contraire B̄.
Pour calculer P(B) via l’arbre :
- Identifiez tous les chemins aboutissant à l’événement B.
- Multipliez les probabilités situées sur les branches de chaque chemin.
- Additionnez les résultats obtenus pour tous les chemins menant à B.
Vérifiez systématiquement, à chaque nœud de départ, que la somme des probabilités des branches est égale à 1. Sans cette condition, la partition est invalide.
Exemple d’application : le contrôle qualité
Considérons une usine produisant des pièces via trois machines : M1, M2 et M3. La machine M1 produit 50 % des pièces, M2 en produit 25 % et M3 en produit 25 %. Le taux de pièces défectueuses est de 5 % pour M1, 4 % pour M2 et 2 % pour M3. Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit défectueuse (événement D) ?
| Machine | Probabilité de production | Taux de défaut |
|---|---|---|
| M1 | 0,50 | 0,05 |
| M2 | 0,25 | 0,04 |
| M3 | 0,25 | 0,02 |
En appliquant la formule :
P(D) = P(M1) × PM1(D) + P(M2) × PM2(D) + P(M3) × PM3(D)
P(D) = (0,50 × 0,05) + (0,25 × 0,04) + (0,25 × 0,02)
P(D) = 0,025 + 0,01 + 0,005 = 0,04
La probabilité qu’une pièce soit défectueuse est donc de 4 %.
Probabilités totales vs théorème de Bayes
Ces deux notions sont complémentaires mais distinctes. La formule des probabilités totales calcule la probabilité globale d’un événement B à partir de scénarios connus. Le théorème de Bayes, quant à lui, permet d’inverser le conditionnement : il sert à calculer PB(Ai), soit la probabilité que l’on soit dans le scénario Ai sachant que l’événement B s’est réalisé.
En pratique, les probabilités totales servent souvent d’étape intermédiaire pour appliquer le théorème de Bayes, car P(B) constitue le dénominateur de la formule bayésienne.
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
L’erreur la plus courante consiste à oublier de vérifier que les événements Ai forment une partition. Si vous additionnez des probabilités issues d’événements qui ne sont pas incompatibles, le résultat sera mathématiquement erroné.
Un autre piège classique est la confusion entre P(Ai ∩ B) et PAi(B). Rappelez-vous que P(Ai ∩ B) = P(Ai) × PAi(B). Si l’énoncé vous fournit directement la probabilité de l’intersection, ne multipliez pas par P(Ai) une seconde fois.